Geometria analítica
ANÁLISE, O QUE É?
Com a retomada da geometria grega e o aperfeiçoamento da álgebra, a matemática torna-se cada vez mais essencial para o progresso das demais ciências. Nos séculos XVI e XVII, os avanços da astronomia, as novas questões colocadas pela física e a necessidade de desenvolver a tecnologia empregada na navegação aceleram os estudos sobre o movimento e a localização no espaço. Surge um novo ramo da matemática, a análise, nome genérico que engloba praticamente todas as formas de matemáticas modernas. O surgimento da geometria analítica é o marco que abre caminho para as chamadas matemáticas superiores.
Geometria analítica
Contemporâneo de Kepler e Galileu, René Descartes (1596-1650) unifica a aritmética, a álgebra e a geometria, e cria a geometria analítica: um método que permite representar os números de uma equação como pontos em um gráfico, as equações algébricas como formas geométricas e as formas geométricas como equações. Em 1637, publica O discurso do método para bem conduzir a razão, no qual recomenda que as ciências físicas adotem o mesmo método dedutivo usado pelos geômetras para demonstrar seus teoremas: partir das verdades mais simples e evidentes e encadeá-las logicamente até alcançar raciocínios mais complexos. Para ilustrar seu método, Descartes inclui no Discurso um apêndice com três exemplos. O terceiro deles, com 106 páginas, é A geometria, obra que revoluciona a matemática e abre caminho para todo o avanço das ciências experimentais nos séculos XVII e XVIII.
René Descartes (1596-1650) é considerado o filósofo que individualmente mais contribui para o progresso das ciências exatas. Advogado e filho de advogado, nasce em La Haye, na França. Estuda numa escola jesuítica e, em 1616, forma-se em direito na Universidade de Poitiers. Insatisfeito com a formação escolástica que recebera, rompe com a filosofia aristotélica adotada nas academias, propõe uma nova concepção do Universo, formula a geometria analítica e cria as bases do método científico moderno. No início da Guerra dos Trinta Anos integra-se às tropas do príncipe Maurício de Nassau, o mesmo que, em 1637, vem para Pernambuco, Brasil, governar a região dominada pelos holandeses. Como militar, Descartes não participa de batalhas e dedica-se integralmente à matemática. Começa a formular sua geometria analítica e seu "método de raciocinar corretamente" com apenas 22 anos. Ao procurar a premissa mais elementar e irrefutável que servisse de base para construir seu método de raciocínio, formula o axioma "penso, logo existo", base de todo o racionalismo científico. Em 1649, muda-se para a Suécia. Não resiste ao frio do inverno e morre de pneumonia poucos meses depois.
Coordenadas cartesianas ? Descartes prova que é possível determinar uma posição em uma superfície usando apenas um par de números e duas linhas de referência que se cruzam perpendicularmente: um dos números indica a distância vertical e, o outro, a distância horizontal. Neste tipo de gráfico, representa os números como pontos e as equações algébricas como uma sequência de pontos. Ao fazer isso, descobre que as equações de 2º grau transformam-se em linhas retas ou nas curvas cônicas, demonstradas por Apolônio 19 séculos antes: x² + y² = 0 forma duas linhas cruzadas, x² + y² = 4 forma um círculo, x² ? y² = 4 forma uma hipérbole; x² + 2y² = 4, uma elipse; e x² = 4y, uma parábola. As equações de grau maior ou igual a 3 dão origem a curvas em forma de corações, pétalas, espiras e outras. Atualmente, as linhas que se cruzam são chamadas de coordenadas cartesianas. A linha vertical é o eixo dos y (ordenada) e a linha horizontal é o eixo dos x (abscissa).
Variáveis e funções ? A geometria analítica revaloriza a trigonometria e os logaritmos. A trigonometria, ou estudo dos triângulos, conhecida desde os gregos antigos, era utilizada apenas para medir áreas e grandes distâncias. Os logaritmos, expoentes que indicam a que potência um número deve ser elevado para atingir um valor determinado, eram usados apenas para simplificar os cálculos. Com os gráficos cartesianos, essas duas técnicas servem de instrumento para a construção das chamadas curvas logarítmicas, que permitem representar equações em que a relação entre os números é variável: quando um número muda, altera o valor do outro. O primeiro número é chamado de variável e, o segundo, de função. A descoberta tem inúmeras aplicações práticas como, por exemplo, calcular todas as variações da pressão atmosférica em função das variações de temperatura. Produz grande avanço na ciência experimental e desdobra-se em novos campos da própria matemática.
Cálculo
Um dos primeiros desdobramentos da geometria analítica é o cálculo. Criado por Leibniz e Newton, no século XVII, é utilizado para analisar e prever as variações no comportamento de forças ou de coisas móveis. Permite equacionar e representar graficamente a órbita dos planetas, a trajetória de uma bomba ou de um corpo em queda, a variação de intensidade de um som ou a acumulação de pressão nos pilares de uma ponte. O cálculo é uma das ferramentas utilizadas por Newton na construção de sua teoria da gravitação universal.
Cálculo diferencial e integral ? O conceito central do cálculo é a chamada "convergência para um limite": um valor desconhecido pode ser medido por aproximações sucessivas e cada vez menores, até aproximar-se do zero. Para fazer essa medição, Leibniz e Newton inventam duas novas operações, diferenciação e integração, as primeiras que surgem depois das operações fundamentais ? adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação ? conhecidas desde a Antiguidade. A diferenciação é o processo para determinar a razão, ou quociente, segundo a qual uma variável muda em relação a outra em um determinado momento. Para efetuar a diferenciação, os matemáticos dividem a pequena mudança de uma variável pela pequena mudança da outra, até chegar a valores próximos ao zero. A integração faz o processo inverso: parte do quociente de variação e chega à equação em que as variáveis mudam. O cálculo diferencial e integral transforma-se em um instrumento útil para representar diferentes forças da natureza. Newton aplica esses processos ao estudo da gravidade: demonstra que um objeto em queda livre tem um movimento variável que aumenta segundo uma razão constante. Chama essa razão de aceleração da gravidade, e o que provoca a queda do corpo chama de força da gravidade.
Probabilidades e estatística ? A necessidade de medir a margem de incerteza nos cálculos que envolvem sequências de eventos leva à teoria das probabilidades. A ideia de controlar o acaso e prever as chances de acertar ou errar surge nas mesas de jogos de azar. Um inveterado jogador de dados francês, o cavalheiro de Méré, propõe para Blaise Pascal, um dos grandes matemáticos e filósofos do século XVII, o seguinte problema: como dividir os lucros de um jogo de dados que precisa ser interrompido. Pascal resolve o problema junto com Pierre de Fermat, outro gênio de seu tempo, e abre um novo ramo da matemática: teoria das probabilidades e análise combinatória, bases de toda estatística e das modernas técnicas de pesquisa. A teoria das probabilidades é usada tanto para prever as chances de um jogador ganhar na loteria, como para interpretar experiências realizadas pelos físicos dentro dos aceleradores de partículas.
Teorema de Fermat ? Pierre de Fermat (1601-1665) é um importante matemático do século XVII. Chega à geometria analítica na mesma época que Descartes, participa da construção da teoria das probabilidades e desenvolve a teoria dos números. Por volta de 1637, formula um teorema que se torna famoso: considerando a equação xn + yn = zn, Fermat afirma que não existem valores inteiros para x, y e z que a satisfaçam quando n é um número inteiro maior do que 2. As anotações de Fermat perdem-se. A demonstração de seu teorema tem sido um dos desafios enfrentados por grandes matemáticos e até hoje não resolvido. A última tentativa conhecida é a do matemático inglês Andrew Wilesde. Em 1993, ele anuncia, em Cambridge, ter realizado esse desafio. Pouco tempo depois, reconhece que seu trabalho também não está completo.
Mecânica de Laplace ? Na segunda metade do século XVIII, os acadêmicos franceses Joseph Louis Lagrange e Pierre Simon de Laplace reúnem o cálculo, as técnicas de lidar com variações periódicas e os métodos da teoria das probabilidades, e elaboram uma forma avançada de álgebra, a chamada análise superior. Com esse instrumento, formulam teorias gerais sobre a mecânica comum e celeste, consolidam conhecimentos iniciados por Galileu e Newton e abrem caminho para a matematização de todos os ramos das ciências físicas. Membro da Academia Militar de Paris, Laplace teve Napoleão Bonaparte como aluno. Preso durante a Revolução Francesa de 1789, sua vida é poupada graças a seus conhecimentos e passa a calcular a trajetória das bombas para a artilharia francesa.
Geometria diferencial ? Quando Carl Friedrich Gauss demonstra seu teorema geral da álgebra, em 1799, introduz também o conceito de números complexos, e descobre que essa nova categoria de números tem várias aplicações práticas. Os números complexos são compostos por um número real e por um múltiplo do número imaginário, E-1, como, por exemplo, 7 + 4 (E ?1). Gauss inventa uma forma de expressá-los graficamente, a chamada geometria diferencial. Demonstra que os números complexos podem ser usados para representar vários fenômenos da natureza, como forças, velocidade e aceleração. Com isso, dá início a um novo campo de estudos, a análise vetorial, usada, por exemplo, para definir a trajetória de um corpo sujeito à influência de várias forças, como velocidade inercial e aceleração da gravidade.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) é um dos grandes matemáticos do século XIX. Menino prodígio comparável a Mozart, consta que aos 3 anos de idade já tinha boas noções de aritmética: ao acompanhar os cálculos feitos pelo pai para o pagamento de alguns empregados, detecta um erro nas contas. Na escola, aos 10 anos, surpreende seus professores pela agilidade nos cálculos. Ao receber a tarefa de somar todos os números de 1 a 100, responde rapidamente: 5.050. Provavelmente, percebera que todos os pares feitos com os números 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 até 50 + 51 sempre somam 101. A soma dos cinquenta pares seria 50 x 101 = 5.050. No dia 30 de março de 1796, começa a escrever um "diário científico" em que anota suas descobertas. Este diário, só divulgado 43 anos após a sua morte, mostra que Gauss é um dos últimos gênios a dominar toda a matemática de seu tempo e que precede outros pesquisadores em vários campos. Ele também dedica-se à astronomia e à física e é o pioneiro da geometria não-euclidiana.
Teoria dos grupos
A teoria dos grupos, desenvolvida no século XIX pelo francês Évariste Galois, com apenas 20 anos, é considerada a suprema abstração da matemática. Junto com a teoria dos conjuntos, elaborada por Georg Cantor, também no século XIX, consegue unificar todos os avanços da análise moderna. Um conjunto é uma coleção de entidades e pode incluir números inteiros, símbolos, triângulos ou qualquer outra coisa. Um grupo é uma quantidade de elementos de um conjunto ? números, símbolos, pontos, linhas etc. ? que se distingue dos demais grupos do mesmo conjunto porque tem qualidades particulares e obedece a determinadas regras. A teoria dos grupos é usada para determinar a existência ou não de padrões de comportamento em fenômenos naturais e sociais. Pode ser aplicada tanto na análise dos genes humanos quanto na avaliação de circuitos eletrônicos. Mostra, ainda, que os diferentes campos da matemática têm grandes semelhanças e que é possível usar as ferramentas e métodos de um campo para resolver problemas de outro.
Évariste Galois (1812-1832) é um aluno apático até os 15 anos de idade, quando então se apaixona pela matemática. Em menos de cinco anos, já domina praticamente toda a matemática de sua época. Jovem rebelde e genioso, vive em conflito com seus mestres e é reprovado em vários exames. Gosta da boemia e das grandes discussões políticas. Liberal e republicano na França pós-Napoleão, passa seis meses na prisão por atividades subversivas. Na madrugada de 31 de maio de 1832, com 20 anos de idade, tranca-se em casa e escreve pelo resto da noite: um manifesto político (A todos os republicanos) e um ensaio matemático. Ao amanhecer, morre num duelo em honra de uma mulher que mal conhecia. Nas 31 páginas quase ilegíveis em que rabisca suas descobertas matemáticas, deixa a base da teoria dos grupos.
Lógica simbólica ? Na tentativa de aumentar a precisão das proposições matemáticas, o inglês George Boole desenvolve a lógica simbólica, um novo sistema de notações e de classificação do conhecimento matemático. No século XX, aplicando a lógica simbólica, alguns matemáticos como Bertrand Russel e Alfred Whitehead tentam analisar e classificar os conhecimentos específicos de todos os ramos da matemática. Seu objetivo: identificar os axiomas básicos de cada campo de estudos e reduzir todas as provas possíveis aos seus fundamentos mais simples. Essa ideia foi refutada por Kurt Gödel ao demonstrar que a quantidade de verdades sobre os números inteiros, por exemplo, e as possíveis relações entre eles são tão grandes quanto a própria sucessão de números, ou seja, ilimitada. A lógica simbólica, no entanto, não deixa de evoluir e está na base da linguagem usada no desenvolvimento dos computadores.
Geometria não-euclidiana
Até o século XIX, a geometria trabalha com um conceito de espaço formado por três dimensões: altura, largura e profundidade. A partir da geometria analítica e do cálculo, os matemáticos atingem um novo estágio de abstração e criam a geometria não-euclidiana. Concebem formas com mais dimensões do que as conhecidas pela experiência sensível e, para conter essas formas, imaginam espaços com infinitas dimensões. Este conceito de espaço com mais de três dimensões é básico para a nova concepção de Universo desenvolvida por Einstein em sua teoria da relatividade.
Postulado da geometria não-euclidiana ? Carl Friedrich Gauss é o primeiro a formular o postulado básico da geometria não-euclidiana: "Por um ponto situado fora de uma linha é possível traçar mais de uma paralela a esta linha". A ideia nega frontalmente o último dos cinco postulados de Euclides ("Por um ponto fora de uma reta é possível traçar uma, e apenas uma, paralela a esta reta"), um dos pilares de toda a geometria construída até então.
Espaço curvo ? Gauss é o primeiro a formular a ideia de que o espaço não precisa necessariamente ser imaginado em linhas retas. Para ele, se uma linha é definida apenas pela sua extensão, nada a impediria de ser curva. Da mesma forma, se uma superfície é definida pelas dimensões comprimento e largura, também poderia ser curva. O mesmo raciocínio valeria para um espaço definido pelas dimensões comprimento, altura e largura. A ideia de espaços curvos é desenvolvida pelo matemático russo Nikolai Lobacheviski, em 1826, e aperfeiçoada em 1854 por Georg Friedrich Bernhard Riemann, discípulo de Gauss. Riemann também concebe espaços com quatro ou mais dimensões e é considerado precursor de Einstein.
Topologia ? No século XX surge um tipo especial de geometria, a topologia. Estuda as propriedades das figuras geométricas que não se alteram quando a própria figura é transformada. Em vez de estudar a forma dos objetos, a topologia estuda as relações de vizinhança entre os pontos que formam os objetos. Pelo conceito de transformação topológica, uma figura pode ser deformada e permanecer topologicamente a mesma, desde que não se alterem as relações de vizinhança entre os pontos que a constituem. Os estudos de topologia abrem caminho para a moderna teoria das redes. Podem ser aplicados para planejar desde as redes de serviços urbanos, como água e eletricidade, até as de computadores, estejam eles concentrados numa sala ou espalhados por diferentes pontos do planeta.
Fonte: www.conhecimentosgerais.com.br
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