Frações Decimais
O papel das frações e números Decimais
Esta página trata do estudo de frações e números decimais, bem como seus fatos históricos, propriedades, operações e aplicações. As frações decimais e números decimais possuem notória importância cotidiana. Tais conceitos são usados em muitas situações práticas, embora, muitas vezes passem despercebidas.
Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de café por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota de R$ 5,00, obtém-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de frações e números decimais. Através deste tipo de compra, usamos o conceito de fração decimal juntamente com o sistema de pesagem (1/2 Kg), números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outras situações utilizam de frações e números decimais.
Observação: Para dividir um número X por outro número não nulo Y, usaremos frequentemente a notação X/Y, por ser mais simples.
Elementos históricos sobre os números Decimais
Hoje em dia é comum o uso de frações. Houve tempo, porém que as mesmas não eram conhecidas. O homem introduziu o uso de frações quando começou a medir e representar medidas.
Os egípcios usavam apenas frações que possuíam o número 1 dividido por um número inteiro, como por exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... Tais frações eram denominadas frações egípcias e ainda hoje têm muitas aplicações práticas. Outras frações foram descobertas pelos mesmos egípcios as quais eram expressas em termos de frações egípcias, como: 5/6=1/2+1/3.
Os babilônios usavam em geral frações com denominador 60. É provável que o uso do número 60 pelos babilônios se deve ao fato que é um número menor do que 100 com maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente frações com denominador 12. Provavelmente os romanos usavam o número 12 por ser um número que embora pequeno, possui um número expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notações foram usadas para representar frações. A atual maneira de representação data do século XVI.
Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração 1/2 equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 0,5.
Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar todas as operações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia os números naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemático escocês.
1437
1
2
3
=
1,
4
3
7
1000
A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.
437
100
= 4,37
Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.
Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.
Frações e Números Decimais
Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal.
Exemplos de frações decimais, são:
1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103
Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.
A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como:
127
100
=
1,27
onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:
127
100
=
100+27
100
=
100
100
+
27
100
= 1+0,27 = 1,27
A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração.
Leitura de números decimais
Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.
Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:
Centenas
Dezenas
Unidades
,
Décimos
Centésimos
Milésimos
Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:
1 Centena
3 dezenas
0 unidades
,
8 décimos
2 centésimos
4 milésimos
Exemplos:
0,6
Seis décimos
0,37
Trinta e sete centésimos
0,189
Cento e oitenta e nove milésimos
3,7
Três inteiros e sete décimos
13,45
Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos
130,824
Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimos
Transformando frações decimais em números decimais
Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida "um décimo". Notamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:
parte inteira
parte fracionária
0
,
1
Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lê da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centésimos". Novamente observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:
parte inteira
parte fracionária
2
,
31
Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador. Por exemplo:
(a) 130/100 = 1,30
(b) 987/1000 = 0,987
(c) 5/1000 = 0,005
Transformando números decimais em frações decimais
Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Como exemplo, temos:
(a) 0,5 = 5/10
(b) 0,05 = 5/100
(c) 2,41 = 241/100
(d) 7,345 = 7345/1000
Propriedades dos números decimais
Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal. Por exemplo:
(a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000
(b) 1,0002 = 1,00020 = 1,000200
(c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000
Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Por exemplo:
(a) 7,4 x 10 = 74
(b) 7,4 x 100 = 740
(c) 7,4 x 1000 = 7400
Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... casas decimais. Por exemplo:
(a) 247,5 ÷ 10 = 24,75
(b) 247,5 ÷ 100 = 2,475
(c) 247,5 ÷ 1000 = 0,2475
Operações com números decimais
Adição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns passos:
(a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Por exemplo:
(a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723
(b) 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723
(b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que:
o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número,
o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número,
o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número, etc),
a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula, e
a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.
Dois exemplos:
2,400 2,400
+ 1,723 - 1,723
------- -------
(c) Realizar a adição ou a subtração.
Multiplicação de números decimais: Podemos multiplicar dois números decimais transformando cada um dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo:
2,25×3,5 =
225
100
×
35
10
=
225×35
100×10
=
7875
1000
= 7,875
Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. Por exemplo:
2,25
2 casas decimais
multiplicando
x
3,5
1 casa decimal
multiplicador
1125
+
675
7875
7,875
3 casas decimais
Produto
Divisão de números decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essas informações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros. Por exemplo: 3,6÷0,4=?
Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática, dizemos que "cortamos" a vírgula.
3,6÷0,4 =
3,6
0,4
=
36×10
4×10
=
36
4
= 9
Um outro exemplo:
0,35÷7=
0,35
7
=
0,35×100
7×100
=
35
700
=
35÷7
700÷7
=
5
100
= 0,05
Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.
Exercício: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cada um receberá?
Divisão com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por 700 (divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 décimos, 3500 centésimos, ... até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão se torne possível. Neste caso, há a necessidade de multiplicar por 100.
Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficará dividido por 100.
dividendo
3500
700
divisor
resto
0
0,05
quociente
Realiza-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05.
Divisão de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro no quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim para dividir o número 10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros.
10
16
?
(1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença do algarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente.
100
16
0,
(2) Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4.
100
16
-96
0,6
4
(3) O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 4.
100
16
-96
0,6
40
.
(4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8.
. (5) O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual inserimos um 0 à direita do número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0.
100
16
-96
0,625
40
.
-32
.
80
.
-80
.
0
.
A divisão 10/16 é igual a 0,625. O o quociente é um número decimal exato, embora não seja um inteiro.
Comparação de números decimais
A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se lê: maior); < (que se lê: menor) ou = (que se lê: igual).
Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior. Por exemplo:
(a) 4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.
(b) 3,7 < 5,4, pois 3 é menor do que 5.
Números com partes inteiras iguais: Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maior deles. Alguns exemplos, são:
(a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.
(b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470.
(c) 4,3 = 4,3 pois 4=4 e 3=3.
Porcentagem
Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo:
- A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento)
- Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.
- O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento)
A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b=100 chama-se porcentagem.
Exemplos:
(1) Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com o número total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é o mesmo que
30 100
30
100
= 30%
(2) Calcular 40% de R$300,00 é o mesmo que determinar um valor X que re
presente em R$300,00 a mesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção:
40
100
=
X
300
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicação cruzada para obter: 100X=12000, assim X=120
Logo, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00.
(3) Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler?
45
100
=
X
200
o que implica que 100X=9000, logo X=90. Como eu já li 90 páginas, ainda faltam 200-90=110 páginas.
Fonte: pessoal.sercomtel.com.br
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